Matemática Progressão Geométrica (P.G)


PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G)

 Progressão geométrica é uma sequência numérica que cresce ou decresce pelo produto por uma taxa constante. Nessa progressão, os seus termos a partir do segundo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada razão q. 
POR EXEMPLO: 


De uma maneira geral podemos definir uma progressão geométrica, assim: 

Uma sequência qualquer (a1, a2, a3, ..., an`) será uma P.G se, somente se,


E o cálculo da razão será realizado da seguinte forma:

a2 = a3 = ... = an = ... = q

a1    a2            an - 1





CLASSIFICAÇÃO DA P.G 


Dependendo dos termos que compor uma P.G ela será classificada em: 

  • P.G crescente são aquelas que os valores dos termos vão crescendo.

a 1 > 0 e q > 1, por exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...)

a 1 < 0 e 0 < q < 1, por exemplo: (-1, -1/2, -1/4, ...)

  • P.G decrescente são aquelas que os termos vão diminuindo.
a 1 > 0 e 0 < q < 1, por exemplo: (64, 32, 16, 8, ...)

a 1 < 0 e q > 1, por exemplo: (-2, -4, -8, ...)


  • P.G constante são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual a q = 1.
Por exemplo: (5, 5, 5, 5, ..., 5)


  • P.G oscilante é uma P.G que os seus termos intercalam em negativos e positivos, ou seja, que a1 diferente de 0 e q < 0.

  • P.G que nula é uma P.G que apenas o 1º elemento é diferente de zero.
Por exemplo: (2, 0, 0, 0, 0, 0, ...)





FÓRMULA DE TERMO GERAL DE P.G 


Considerando a P.G (a1, a2, a3, ..., an - 1, an) e utilizando a definição de P.G an = an -1 . q com n > 1 podemos encontrar a fórmula de termo geral da P.G, desde que a1 diferente 0 e q diferente 0.


a2 = a1 . q 

a3 = a2 . q

a4 = a3 . q 

.................

an = an - 1 . q

an = a1 . qn - 1


Portanto, o termo geral da P.G é calculado com a utilização da fórmula: 






SOMA DE P.G: 

Vejamos o exemplo abaixo de uma Progressão Geométrica com infinitos termos:  


Nota-se que o termo da P.G está ficando cada vez menos, isto acontece porque a razão da P.G é 1/2, e quanto a razão é um número real entre -1 e 1, a tendência é que a P.G se aproxime cada vez mais de zero. Sempre que a razão estiver neste intervalo, poderemos somar todos os termos da sequência através da fórmula abaixo: 



Vamos utilizar a fórmula para somar todos os termos da P.G infinita citada acima: 
Temos que a1 = 1 e q = 1/2
Utilizando a fórmula: 





EXEMPLOS: 


A-) Calcular o 6º termo da sequência (3, 9 , 27, ...). Termos que a1 = 3, n = 6 e q = 3.

Utilizando a fórmula do termo geral: 



B-) Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.G (1, 2, 4, 8, ...): Temos que o primeiro termo é 1, a razão é 2 e a quantidade de termos é 10. 
Utilizando a fórmula: 



C-) Calcular o valor da soma 2+6+18+56+168+504+1512+4536. Temos uma P.G onde a1=1, q=3 e n= 8.

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